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【新华日报】黎曼猜想 159年后引发“数学地震”
发布时间: 2018-09-26                    访问次数: 74

前沿

9月20日,一张推特截图引发数学圈“地震”:菲尔兹奖、阿贝尔奖双料得主迈克尔·阿蒂亚爵士宣布将证明困扰数学家们159年的黎曼猜想!

时隔4天后,在德国举办的2018年度海德堡获奖者论坛上,阿蒂亚向全世界展示了自己关于黎曼猜想的证明,但他只用了1页PPT叙述了其研究内容。

阿蒂亚对黎曼猜想的证明尝试,引起了超出数学界的社会各界的广泛关注,引发了一次空前的科普盛况,其演讲伊始,就因观看人数过载,直播瞬间崩溃……

数学界最高荣誉菲尔兹奖和阿贝尔奖双料得主、89岁的迈克尔·阿蒂亚爵士,挑战著名的“希尔伯特23问”和“千禧年七大难题”的双料“得主”、拥有159年历史的黎曼猜想,无论成败,本身就是一件引爆数学圈的盛事!

因此,翘首以待4天后,9月24日海德堡获奖者论坛开幕前几小时,网上就已经开始流传阿蒂亚证明黎曼猜想的预印版论文,人们纷纷猜测,仅仅5页的论文,如何证明困扰数学界大咖们一个半世纪之久的黎曼猜想?



一代代数学家为之如痴如醉

159年前,德国数学家波恩哈德·黎曼在题为《论小于给定数值的素数个数》的论文中提出了“黎曼猜想”。这篇论文虽然只有8页,却给后世留下了数学史上最著名的未决问题。

论文讨论的是素数(也叫质数)分布规律的问题。素数的定义在中小学数学课本上便可获知:一个大于1的自然数,除了1和它自身外,不能整除其他自然数的数叫做素数。但素数分布的奥秘,数学家们迄今未能彻底解开。

黎曼发现,素数分布的奥秘蕴藏在一个特殊的函数之中,这个函数后来便被称作黎曼ζ(读作“Zeta”)函数。科普作家、《黎曼猜想漫谈》作者卢昌海在接受科技日报采访时表示,黎曼猜想所“猜”的是:黎曼ζ函数的所有非平凡零点都分布在复平面上一条被称为“临界线”的特殊直线上。

证明黎曼猜想,是一个世纪难题。159年来,一代代数学家为之前赴后继,但都没有成功。历史上甚至有这样的玩笑,著名数学家哈代每次访问丹麦数学家玻尔,回程时都会给玻尔寄张明信片,上面写道:“我已经证明了黎曼猜想。”而电影《美丽心灵》的主角、美国数学家纳什,也极有可能是因黎曼猜想而精神分裂。

1900年,德国数学家希尔伯特在国际数学家大会上列举了23 个数学难题,被称为“希尔伯特23问”,其中便包括黎曼猜想。“如果能在 500 年后重返人间,要问的第一件事情,就是黎曼猜想被证明了还是被证伪了”便是希尔伯特的夙愿。

2000年,美国克雷数学研究所列出了世界七大数学难题,即著名的“千禧难题”,并悬赏100万美元给第一个证明或证伪的人,其中当然也包括黎曼猜想。


证明或证伪黎曼猜想意味着什么

为什么一代代数学家为黎曼猜想如痴如醉,执迷不悔?证明或证伪黎曼猜想到底意味着什么?

卢昌海如此评价:与费马猜想时隔三个半世纪以上才被解决,哥德巴赫猜想历经两个半世纪以上屹立不倒相比,黎曼猜想只有一个半世纪的纪录还差得很远,但它在数学上的重要性要远远超过这两个大众知名度更高的猜想。

卢昌海说,素数分布是数论中的重要课题,数论又是被德国数学家高斯称为“数学的皇后”的重要领域,这在一定程度上奠定了黎曼猜想的重要性。更重要的是,黎曼猜想跟诸多数学命题有着千丝万缕的联系——当今数学文献中有1000条以上的数学命题是以黎曼猜想或其推广形式的成立为前提的。因此,黎曼猜想及其推广形式一旦被证明,数学中将史无前例地于“一夜间”新增1000多条定理;如果黎曼猜想被证伪,那么整个以黎曼猜想作为前提的数学体系将会受到巨大影响。

如今,向黎曼猜想发起挑战的迈克尔·阿蒂亚是1966年的菲尔兹奖和2004年的阿贝尔奖得主,他曾担任英国皇家学会主席、剑桥大学三一学院院长、爱丁堡皇家学会主席,虽然89岁高龄却雄心不减。

面对外界的质疑,阿蒂亚并不十分在乎:“我已经得到了我需要的所有奖项,我还能失去什么?这就是为什么我在冒着一个年轻学者不敢冒的风险。”


英国数学“教父”公开证明过程

9月24日,在2018年度海德堡获奖者论坛上,阿蒂亚用45分钟时间向全世界展示了他证明黎曼猜想的过程。因观看人数过载,直播瞬间崩溃,演讲大概10分钟之后,直播才恢复。

“用我的方法,黎曼猜想已经被证明了。” 阿蒂亚说。他说自己是基于冯·诺依曼、希策布鲁赫和狄拉克等人的成果,使用一种“简单而全新”的方法证明了黎曼猜想。他只用了5页纸叙述了他的研究内容。

前二十几分钟,阿蒂亚主要介绍了素数研究的历史以及素数与黎曼猜想的关系。为什么黎曼猜想如此有趣却那么难以证明?他表示主要有三个方面:首先素数表现出局部不规则性,却又渐进地表现出一些规律;其次要想知道N以内的素数数量,这是非常困难的;最后这些困难与疑惑,很多都能通过黎曼猜想得到解释,因此即使它还没有被证明,实际上已经有很多推理都建立在它之上了。

阿蒂亚还开了个玩笑,“解决黎曼猜想你会出名,但如果你已经是个名人,那就有声名狼藉的风险了。”

之后,他才提到了黎曼猜想的主要证明过程。他提出了对黎曼猜想证明方法的一个简单思路,其灵感来源于他在2018年ICM(国际数学大会)上提出的精细结构常数的推演,这一推演过程结合了冯·诺依曼的算子理论及希策布鲁赫创立并证明的代数簇黎曼-罗赫定理,还应用了Todd函数参与计算,而这个函数将是证明黎曼猜想的核心。关于证明黎曼猜想的具体细节,阿蒂亚并未做出证明的全部工作……

证明?没证明?需要时间来检验

从这次演讲来看,阿蒂亚并没有完全给出黎曼猜想的证明。“机器之心”称,这更像是一个宣称“我证明了”声明的又一次发布会,细节仍然不明朗。还有网友认为他上了年纪,“廉颇老矣”。当然,也有一些学者认为,阿蒂亚或为后续黎曼猜想证明提供了一种新思路。

南京某高校一位不具名的数学家称,从演讲过程看,阿蒂亚只是宣布自己证明了黎曼猜想,但并未公布所有证明细节,所以现在不好评判,只有等待其公布了所有证明细节之后,数学界才会有结论。

“此证明是对还是错,也许需要国际数学界花上几年时间来检验。”东南大学数学学院院长、欧洲科学院院士曹进德对本报《科技周刊》记者说。

据介绍,世界七大数学难题目前只有庞加莱猜想已由俄罗斯数学家格里戈里·佩雷尔曼破解,从2002年11月佩雷尔曼给出庞加莱猜想的证明,到2006年8月被数学界最终确认,历时四年之久。2012年8月,日本数学家望月新一宣称自己解决了ABC猜想,但6年过去了他的推理仍然没有被数学界最终认可。

“这个‘简洁’的证明能否通过各路英豪的检验?”曹进德表示他很期待,“如果这是对的,一百多年的超大问题,跃上了一个新的台阶;如果这是错的,也许会是一个很有价值的错误。无论结果如何,老当益壮的阿蒂亚都值得我们敬佩。”

本报记者 蔡姝雯 孙 庆



2018-9-26【新华日报】第15版